绝对值的最小值”探究教学

绝对值的最小值”探究教学

谭志勇

谭志勇乐山市沙湾区太平镇初级中学614901

【提要】在“绝对值”教学中，很多同学往往只掌握到会求如“|2x-3|的最小值”这类问题的程度。把若干个绝对值放在一起求和，并求它的最小值的时候很多同学都会无从下手，本文旨在引导学生利用数轴探究得出“求|x-a1|+|x-a2|+|x-a3|+…|x-an|的最小值问题”的一般方法，激发学生的探索精神和实践能力。

中图分类号：G623.2文献标识码：A文章编号：ISSN1672-2051（2018）12-073-02

“绝对值”是七年级学生进入中学以来学习到的第一个比较抽象的概念，很多同学对这个知识点掌握的不是很好，特别是把若干个绝对值放在一起求和，并求它的最小值的时候很多同学都会无从下手。比如：求|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值是多少。

我们知道一个数a的绝对值表示的是在数轴上a所对应的点到原点的距离，因此|a|≥0，也就是|a|的最小值是0。部分同学能运用这点解决如：“求|2x-3|的最小值”这样问题已经算是不错的了，但对于学有余力的同学来说仅掌握到这个程度还不够，让学生进一步理解绝对值的几何意义，并运用绝对值的几何意义来解决“求|x-a1|+|x-a2|+|x-a3|+…|x-an|的最小值问题”对发展学生的数学思维有着积极的作用，为此，我引导学生从下面一些步骤由浅入深的逐步探索，最终发现其规律。

一、牢固掌握绝对值的概念

在数轴上，一个数所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。

例如：|-2|的绝对值表示的是：在数轴上-2对应的点到原点的距离，所以|-2|=2。

因为点到点的距离总是大于等于零的，由此，我们可以概括：|a|≥0。那么什么数的绝对值最小呢？为什么？

二、准确理解绝对值的几何意义

|a|的几何意义：在数轴上数a对应的点到原点的距离。

|a-b|的几何意义：在数轴上a、b两数所对应的点之间的距离。

例如：数轴上1和4之间的距离可以写成：|1-4|或|4-1|。反过来|1-4|或|4-1|表示的都是数轴上1和4之间的距离。

那么：|a+b|几何意义又是什么呢？因为“|a+b|”可以改写成“|a-（-b）|”，因此|a+b|几何意义是数轴上a和-b对应的两数之间的距离。在此老师一定要强调：a、b两数之间的距离一定要表示成两数之差的绝对值，也就是|a-b|，如：|2+5|的几何意义先要改写差的形式：|2-（-5）|或|5-（-2）|，所以|2+5|的几何意义是：数轴上2、-5对应的两数之间的距离或数轴上5、-2对应的两数之间的距离。

三、利用数轴探索最小值问题

探索1：求|x-1|的最小值是多少？

因为|x-1|表示的是数轴上x到1之间的距离，所以，当x=1时，|x-1|有最小值是：0。

在这里，老师一定要让学生实际操作，在数轴上移动数x的位置，体会x到1的距离发生怎样的变化，让学生真正理解当x=1时，|x-1|有最小值是0，这对后面的继续探索很重要。

探索2、求|x-1|+|x-2|的最小值是多少？

在经历了“|x-1|的最小值”探索后，现在我们来看“|x-1|+|x-2|的最小值是多少”这个问题。根据绝对值的几何意义，我们知道|x-1|+|x-2|表示的是数轴上x对应的这个数到1的距离与到2的距离之和，因为在“|x-1|+|x-2|”中，字母x表示的同一个数，所以“求|x-1|+|x-2|的最小值”我们翻译一下就是：在数轴上找一个点，使这个点到1和2的距离之和对小。

如图所示，我们看到1和2把数轴分成了三部分，分别是：1的左边、1和2之间、2的右边。那么x分别在这三段里面，它会不会影响|x-1|+|x-2|的结果呢？有了这样的疑问，激励同学们一起通过画图来探索当x分别在“1的左边、1和2之间、2的右边”三种不同情况时|x-1|+|x-2|的结果。

我们把x到1和2的距离分别表示成d1,d2,通过画图我们发现：

当x<1时：d1+d2=2d1+1>1;

当1≤x≤2时：d1+d2=1（分三种情况观察：x在1的位置时，x在1、2之间时，x在2的位置时d1+d2的值有没有变化）；

当x>2时：d1+d2=2d2+1>1.

通过上面的探索，我们得到：当1≤x≤2时：d1+d2=1是最小值。也就是说当1≤x≤2时，|x-1|+|x-2|的最小值是1。

探索3、求|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值是多少？

如图：求|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值，就是要在数轴上找一个点，使它到1、2、3之间的距离之和最短。

这里为了使探索更加便捷，我们可以利用前面探索的结论，求|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值，我们假如没有中间的|x-2|，只考虑“求|x-1|+|x-3|的最小值”，那么x应该在1和3之间，这样我们就把x的位置从整个数轴缩小到1和3之间。所以“求|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值”其实就是要在1和3之间找到一个点使|x-2|的值最小，那么|x-1|+|x-2|+|x-3|的值就最小，在探索1中我们知道当x=2时，|x-2|的值最小，并且x=2满足在1和3之间，我们把x=2带入原式就可以求出|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值。

通过上面的分析，我们得到：当x=2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值是2。

经过探索1、2、3后，组织同学们总结一下：求一个、两个绝对值的和、三个绝对值的和……最小值问题时我们分别是找到一个点，两个点之间，一个点……

是不是可以大胆的提出猜想：求奇数个绝对值的和最小值时，找到的是一个点，求偶数个绝对值的和最小值时找到的范围是两个点之间。有了这样的猜想，我们来验证一下：

探索4、求|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值是多少？

采用“探索3”的方法，我们假如没有中间的“|x-2|+|x-3|”，只是“求|x-1|+|x-4|的最小值”，我们就把x的范围缩小到1和4之间，那么求|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值就是要在“1”和“4”之间找到一个点，使这个点到“2”和“3”的距离之和最短，通过前面的探索我们知道，这个点应该在“2”和“3”之间。

所以：当2≤x≤3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|有最小值，是多少呢？我们在2≤x≤3的范围内任意去一个数带进去就可以求出最小值是4。

通过上面四个探索我们发现：

求|x-1|的最小值……………x的位置是一个点（1）

求|x-1|+|x-2|的最小值……x的位置是一个范围（1—2之间）

求|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值…………x的位置是一个点（2）

求|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值……x的位置是一个范围（2—3之间）

……

这样反复下去，我们就发现了一个规律：求|x-a1|+|x-a2|+|x-a3|+…|x-an|的最小值

1、当n为奇数时，先把a1，a2，a3…an从小到大的排列，x取最中间一个数时，该式取得最小值。

2、当n为偶数时，先把a1，a2，a3…an从小到大的排列，x取最中间两个数或两数之间的数值时，该式取得最小值。

3、在这里还要提醒学生观察，在每个绝对值符号里面都是“x”与“an”的差的形式。

四、应用知识解决问题

应用上面的知识，你能解决下面的问题吗？

1、求|x|+|x+1|+|x-3|的最小值。

2、求|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|的最小值，其中a＜b＜c＜d。

通过上面几个步骤，学生对“绝对值最小值的问题”有了比较深刻的理解，这些探究除了能让学生很快的解决“求绝对值的最小值”这类问题外，反过来它又帮助学生从感性到理性再次认识绝对值的几何意义，这是知识掌握层次的升华，更是本次探究意义所在。