物理方法求解数学问题初探

物理方法求解数学问题初探

杨贵武

广东省深圳市高级中学数学组518034

用数学方法解决问题似乎理所当然，但是用物理解决数学却不太被人重视。事实上，数学和物理有着不解之缘，自它们诞生之日起就是互相借鉴、互相促进、共同发展的。用物理方法求解数学问题，首先是将数学问题与物理学原理相类比，从而建立求解数学问题的物理模型，然后用物理学原理进行推理，使数学问题获解。下面我们从四个方面举例说明数学问题的物理解法：

一、用力学原理求解数学问题

例1：（1988年第六届美国数学邀请赛试题）设P为△ABC的内点，连结P与各顶点并延长线到对边，设a、b、c、d表示图一中线段的长度，如果a+b+c=43、d=3，试求abc。

[建立物理模型]如图1，设在A、B、C分别置质量x、y、z使得△ABC的重心为P点，P点质量即为(x+y+z)。分别对杠杆AD、BE、CF，将D、E、F视为支点，从而化归为杠杆平衡原理下的物理问题。

[进行物理推导]承上杠杆平衡原理分别有：

三式相加，得＋＋=1。

化简整理，得2d3+9(a+b+c)=abc；又a+b+c=43,d=3，故abc=2·33+9·43=441。

例2：（2004年全国初中数学联赛CASIO杯武汉选拔赛试题）如图2，在△ABC中，D是AC的中点，E、F是BC的三等分点，AE、AF分别交BD于M、N两点，则有BM∶MN∶ND=（）。

A.3∶2∶1B.4∶2∶1C.5∶2∶1D.5∶3∶2

[建立物理模型]在图1中视杠杆AC、BC、AE对应的支点分别为D、E、M，从而化归为杠杆平衡原理下的物理问题。

[进行物理推导]将图2分割成图3、图4。先看图3：

观察以D为支点的杠杆AC。由于D为AC的中点,因此在A点、C点各挂1N重物,那么杠杆AC就达到平衡,此时支点处的合力为2N。

观察以E为支点的杠杆BC。由于EC∶BE=2∶1,又C点挂1N重物,则由杠杆平衡原理得FB·BE=FC·EC。所以FB=FC·=2N。

从而FE=FA+FC=2N+1N=3N。

观察以M为支点的杠杆AE。由于FA=1N,FE=3N,FM=FA+FE=4N,而FB+FD=2N+2N+4N=FM,说明以点M为支点的杠杆BD也达到了平衡。

因此,应用杠杆平衡原理得FB·BM=FD·MD,即2N·BM=2N·MD,故BM=MD。①

同理,根据图4可求得BN=4ND。②

设BM=x,MN=y,ND=z,则由①、②可得方程组

x+y=4zx=z

x=y+zy=z

故BM∶MN∶ND=z∶z∶z=5∶3∶2。因此选（D）。

由例1、例2可见应用杠杆平衡原理求解三角形中多截线之线段比问题比用纯几何法求解(作辅助线,用相侧三角形质等)富有规律性。

例3：证明∑k2Cnk=n（n+1）2n-2·Cn-10Cn-11Cn-12Cn-14Cn-1n。

[建立物理模型]由kCnk=nn-1k-1得∑k2Cnk=n∑kCn-1k-1

图5

考虑数轴上坐标为1,2,3，…,n的点,如图5,从左至右依次在该点放上质量为Cn-10，Cn-11，Cn-12，…Cn-1n-1的质点,这些质点构成了一个均匀质点系,从而化为静力距下的物理问题。

［进行物理推导］在其质点下,易知该质点系的重心坐标是,静力矩等于每个质点对原点O的静力矩之和,其M=∑kCn-1k-1。另一方面,根据力学知识,整个质点系对O点的静力矩又等于质点系的重心处集中了整个质点系的质量关于原点的力矩,即M=Cn-10+Cn-11+…+Cn-1n-1·=2n-2（n+1），则有∑kCn-1k-1=2n-2（n+1），所以∑k2Cnk=n（n+1）2n-2。

读者用类似方法可以计算∑Cnk、∑k（Cnk）2等。

例4：求sin18°的值。

[建立物理模型]建立力的平衡系统:在平面直角坐标系中,以原点O为圆心作单位圆,现有五个力f1、f2、f3、f4、f5作用点都在原点上，大小均为1（如图6所示）。

[进行物理推导]由向量的平行四边形法则和正弦定理易得它们的合力为0,即它们在x轴上的分力之和也为0。故有|f1|+|f2|cos72°+|f5|cos72°-|f3|cos36°-|f4|cos36°=0，整理得1+2cos72°-2cos36°=0，即1+2sin18°-2（1-2sin218°）=0，解得sin18=。

二、用电学原理求解数学问题

例5：试用9个大小不等的正方形填满边长为33×32的长方形，使之不重复也不留空缺。

思考:

[建立物理模型]把9个大小不等的正方形不重不空地填到已知长方形内看成9个电阻组成的网络,每个电阻的阻值均为1Ω,I总=33A,每个电阻通过的电流数即为正方形的面积数，如图7和图8。

[进行物理推导]由基尔霍夫定律算得图8中所示各电阻上通过的电流数，据此拼出图7。

例6：利用电学相关知识证明正切的半角公式:

tan=。

[建立物理模型]如图9,在匀强电场E中,一质量为m、带电量为q的小球，用一长为L的绝缘细线系住，将细线拉至水平无初速释放，当细线摆至与水平成α角时球静止，研究小球在摆动过程中的速率变化，可以证明正切的半角公式。

[进行物理推导]小球从开始运动到静止,根据动能定理ＥqL（1-cosα）-mgLsinα=0，即＝。

根据对称性可知，小球的平衡位置（速率最大处）应在α角的平分线上，此时电场力与重力的合力只提供向心力,合力方向与角平分线平行(如图9)，故有tan=。综上,即得tan=。

例7：求f（x）=＋的最小值,其中x∈（0，），a>0，b>0。

[建立物理模型]如图10,在相距为2R的两点A和B分别固定有带正电的点电荷+QA和+QB,一带正电的检验电荷+q在以AB为直径的圆周上移动。问检验电荷移到何处时,所具有的电势能最小?

[进行物理推导]一方面,在圆周上任取一点P，求出P点电势的表达式,再根据W=qU求电势能，+q在电势最低点具有的电势能量最小。

于是,问题实际上是求函数f（x）=＋的最小值。

另一方面,从能量观点求电势能的最小值：要使电势能最小,则在移动+q的过程中电场力不再做正功,而电场力不做功的条件是物体的运动方向与场强方向垂直。由于点电荷作圆周运动,速度方向沿圆周的切线方向,故使AB两处的点电荷在P点的合场强方向沿半径方向即满足题意。

根据几何关系得tanθ=＝＝，

所以当tan3θ=时,UP＝（＋）取最小值。

比较两个方面知,当tan3x=时,f（x）=+取最小值f（arctan）。

例8：求方程4x4（a-x）2-[（a-x）2+（a）2]3=0的一个正实根。

[建立物理模型]此方程展开后是一元6次方程,若用常规的数学方法精确求解是非常困难的。现假设如图11所示的三个点荷,它们的电量相同,放在等边三角形的顶点上,若有一试验电荷q0可以在x轴上运动,求q0的平衡位置，即问题获解。

[进行物理推导]承上,由力学平衡条件和库仑定律得:

4x4（a-x）2-[（a-x）2+（a）2]3=0。

由于电荷间相互作用的对称性，我们有x2=（a-x）2+（a）2,解得x=a，即为所求。

三、用运动学原理求解数学问题

例9：A、B是和抛物线对称轴垂直的弦的两个端点，AB与其对称轴正交于C。设抛物线上有一动点P，PA、PB连线交对称轴于D和E，求证：CD与CE的和等于过A（或B）的切线与对称轴的交点Q到C的距离。

注意:如图12,原题所要证明的问题,即为CD+CE=CQ。

因为CD=Actgα，CQ=Actgθ,CE=BCtgβ=Actgβ。于是,所证即变为tgα+tgβ=tgθ。

[建立物理模型]设物体被抛射的初速度是V0,抛射角为θ,物体从抛出点到落地点的距离即最大水平射程为S（即图12中的AB)。

[进行物理推理]为达到原题中所要证明的目的,取与抛物线上的动点相当的点——物体被抛出后任一时刻t的位置P(x,y),于是tgα=，tgβ=。

故tgα+tgβ=(1)

由抛物运动规律s=(2)

抛物运动轨迹方程为y=xtgθ-x2=xtgθ（1-x）(3)

把(2)代入(3),化简得y=tgθ·x(4)

(4)代入(1),得tgα+tgβ=tgθ。

因此,原命题得证。

例10：用物理方法求三角函数y=asinbx的导数。

[建立物理模型]设某质点沿如图13所示圆周从P点开始以角速度b逆时针做匀速圆周运动,圆周的半径为a,经过时间x运动一小段圆弧到达Q点,则质点在y方向上的投影运动为简谐振动。

[进行物理推导]经过时间x投影简谐运动质点离开O点的位移为:OQ`=y=αsinbx。

由瞬时速度的定义知:Vy=lim=。

而简谐运动的速度应等于圆周运动速度V(=ab)在y轴上的投影速度Vy,故有Vy=Vcosbx=abcosbx。

∴Vy=lim==Vcosbx=abcosbx。

所以,三角函数y=asinbx的导数为abcosbx。

同样，利用向心加速度的投影可求出函数y=asinbx的二阶导数为-ab2sinbx。

本题的关键在于理解速度和加速度的定义，并理解质点做匀速圆周运动与其在某个方向上的投影运动的联系。

四、光学原理求解数学问题

例11：（第十五届国际中学数学竞赛题）一个战士想要查遍一个正三角形（包括边界）区域内和边界上所有地雷，他的探测器的有效度等于正三角形高的一半。这个战士以三角形的一个顶点开始探测，问他循怎样的探测路线才能使查遍整个区域的路程最短？

分析：现设正三角形ABC的边长为1，如图14，则其高为，士兵探测器的有效半径为。如图14，从A点出发要选择一条能探测全部正三角形区域的最短路径，士兵只要到达图14中扇形区域的边界（弧）而不必进入以B、C为圆心、以为半径的扇形区域δ1和δ2的内部。

[建立物理模型]由A到DE上反射而到达FG上的光线途径可以由A经DE反射后到达B点的最短途径决定。

[进行物理推理]由光学性质可知,从DE上任一点射出的光线当且仅当它和FG的法方向(即⊙B的半径方向)一致时光线方没有折射而直趋圆心B,因此PR是P点到FG的最短路径。

下面要解决的是P点在BE上的什么位置才能使AP+PR最小，即为自A点射出的光线必须在DE上的何位置反射而直至B点。

因光线在DE上反射时遵循“(在弧切线上)入射角α等于反射角β”的法则，再由正三角形的对称性逆推，此时P点必定在DE的中点,如图15。

仿上例可以确定从B、C点出发的两种走法。

例12：〔2003年全高高考(理)第10题〕已知长方形的四个顶点A(0,0)、B(2,0)、C(2,1)和D(0,1),一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后,依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4(入射角等于反射角)。设P4坐标为(x4,0),若1<x4<2,则tanθ的取值范围是()。

A.（，１）B.（，）C.（，）D.（，）

[建立物理模型]由题目情境,可类比联想,将其转化为光学物理模型来求解。

[进行物理推导]

解法一:根据光学的反射原理(如图16),作P0、P4分别关于CB、DA的对称点P0`、P4`，过P2作P2P2`⊥AB,则P0`（3，０），且P0`（3，0）与P4`关于P2P2`对称。

若设P0`（x，0），则P4`（2x-3，0），∴P4`（3-2x，0）。由题意得1＜3-2x＜2，即<x<1。

在Rt△P2P0`P2`中,有tanθ=，∴<tanθ<，选择C。

解法二:根据入射角和反射角相等的法则，光线走向（直线）按反射面（直线）翻折后与反射前光线走向（直线）应该是一条直线。图17所示为光线在矩形ABCD内的行进,图18所示为在矩形ABCD的边按对称翻折后所作成的平面图形,可以把光线看成是直线行进的。在图18中可以看出,一般只要知道P4的横坐标的范围,如x∈[a,b]（0＜a＜b＜2）,则tanθ=∈（,）。实质上建立了tanθ与P4的横坐标x的函数关系式，为我们更进一步研究具体的位置关系带来了方便。

例13：(2008年高考江苏卷第17题)如图19，某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处,AB=20km,BC=10km。为了处理三家工厂的污水,现要在该矩形区域上(含边界)且与A、B等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO、BO、PO。记排污管道的总长度为ykm。

（1）按下列要求建立函数关系：

（Ⅰ）设∠BAO=θ（rad）,将y表示成θ的函数。

（Ⅱ）设PO=x(km),将y表示成x的函数。

（2）请你选(1)中的一个函数关系,确定污水处理厂的位置,使铺设的排污管道的总长最短。

显然,问题的本质就是确定点O的位置,使AO+BO+PO最小。由其图形情境可类比物理学中的费马光能最速原理,借此物理模型求解问题。

将图19中的线段精简,并标上箭头,如图20,这不是光的全反射吗？由此联想到物理中的费马（PierredeFermat,160-1665）原理：光在反射或折射的传播途径下光程最短。其中，光在介质中的传播距离与这个介质的折射率的积称为光程。如图21，发光点P的一条光线在折射率为n1的介质中入射至界面4处，经折射率为n2的介质中传播至点Q。设PM=s1，MQ=s2，则当满足＝时，光程s1n1+s2n2最短。

现在我们来作一个类比:图21中,PQ为镜面,其左边为介质1,n1=2；右边为介质2，n2=1。由上面的物理原理可知,光程s1n1+s2n2=2AO+PO，最短途径A→O→P应符合光的折射定律。特别地,当P就在界面上,且由光密介质1进入光疏介质2（n1＞n2）时,以恰好发生全反射的途径为光程最短。设临界角为i（i=θ)，则＝=，即sinθ=，θ=时,2AO+PO有最小值。因为此类比确真,原问题得解。

综上可见，物理学能为数学问题的求解提供别致新颖的解法。随着数学新课改的不断深化，在数学问题设计上开始关注学科间的交叉、融会与渗透。俗言道“数理不分家”，值得关注的是，数学与物理的交汇性问题，在数学竞赛和高考中已有登台亮相，因此，用物理方法求解数学问题的研究是一件十分必要、颇有意义的工作。