动态重叠面积问题的解题策略初探

动态重叠面积问题的解题策略初探

张英凯

——重叠面积五步策略

张英凯吉林省松原市宁江区朝阳中学138000

随着新课程改革的不断发展，中考命题题型也有很多的创新。但纵观各省市的中考试题，运动问题仍然作为压轴题经常出现。其特点是以运动为载体，集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性，题目灵活、多变，动中有静，动静结合。如何指导学生掌握这类问题的解题策略是许多教师亟待解决的内容。结合教学实际，我总结出了重叠面积五步策略，下面我们以一道中考题为例具体说明这一策略是如何运用的。

题目：（2013吉林省中考题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm。点D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点。连接DE、DF，动点P、Q分别从点A、B同时出发，运动速度均为1cm/s，点P沿A→F→D的方向运动到点D停止，点Q沿B→C的方向运动，当点P停止运动时，点Q也停止运动。在运动过程中，过点Q作BC的垂线交AB于点M，以点P、M、Q为顶点作平行四边形PMQN，设平行四边形PMQN与矩形FDEC重叠部分的面积为y（cm2）。（这里规定线段是面积是0的几何图形）点P运动的时间为x（s）。

（1）当点P运动到点F时，CQ=______cm。

（2）在点P从点F运动到点D的过程中，某一时刻点P落在MQ上，求此时BQ的长度。

（3）当点P在线段FD上运动时，求y与x之间的函数关系式。

本题中的第（1）问比较简单，让学生从简单的求线段开始，解题思路有一个由浅入深的渐进过程，更有利于学生完成此题，这也是符合出题规律的，为后续求线段长度作一个伏笔。解题如下：当点P运动到点F时，∵F为AC的中点，AC=6cm，∴AF=FC=3cm；∵P和Q的速度都是1cm/s，∴BQ=AF=3cm，∴CQ=8-3=5cm。故答案为：5。第（2）问是求P、Q运动过程中的一种特殊情况，也是第（3）问进行分段时的一个临界点，在这里先拿出来求，是让学生初步感受如何确定临界点，求临界值。此问为下一问做了一个铺垫，使学生的思路慢慢打开。解题如下：当点P落在MQ上时，如图①，BQ＋PF=BC，即x+x-3=8，解得x=。即BQ的长度为×1=cm。第（3）问是确定y与x的函数关系式，即重叠面积的问题，这就用到了这一解题策略——重叠面积五步策略。

第一步，确定自变量的取值范围。如何来确定自变量的取值范围呢？通常是找点、线或形运动的起点和终点，从而找到起点和终点的自变量的值。本题中，由题可知，P在线段FD上运动，运动的方向是从点F→D，所以点P运动的起点是点F，终点是到达点D。当P与F重合时，x=3s，当P与D重合时，x=7，而此时点Q并未到达它的终点。所以自变量的取值范围是：3≤x≤7。

第二步，看重叠图形的形状。在运动变化过程中，重叠图形的形状要是发生改变，那么函数必将分段。所以分析、观察重叠图形的形状是否改变是确定函数关系式的首要问题。本题中，当P与F重合时，重叠图形为平行四边形，随着点P沿着FD向上运动，点Q也随之由B向下运动，当Q与E重合时，重叠图形变成矩形。随着P、Q的继续运动，点Q将运动到点E的下方且在线段PN的上方时，重叠图形仍然是矩形。当点P落在MQ上时，P、Q、M、N四点共线，重叠图形变成一条线段。当P继续运动，在MQ的上方时，重叠图形又一次变成矩形，直至点P停止运动。纵观上述运动变化过程中重叠图形的变化情况，共有三个图形：①平行四边形；②矩形；③矩形。（特殊说明：重叠图形是一条线段时，只是一个时间点，而不是持续一段时间，所以不能作为一种情况列出）。

第三步，寻找临界点，确定临界值。这个临界点就是各重叠图形的形状发生改变的那个转折点，运动到转折点的那一时刻就是临界值，可以通过这样的转折点来求临界值。本题中，重叠图形由平行四边形转变成矩形时，是Q与E重合的时候，所以这就是一个临界点，此时临界值x=4。重叠图形由矩形变为另一个矩形时的临界点就是P落在MQ上时，此时临界值x=。综上所述，临界点有两个，临界值分别为：x=4；x=。

第四步，进行静态分析，进而分段。明确了总的自变量的取值范围，再确定了临界值，就可以对这个函数进行分段了。本题中，可把函数分为三段：第一段，当3≤x≤4时，期间静态图形是平行四边形；第二段，当4＜x≤时，期间静态图形是矩形；第三段，当＜x≤7时，期间静态图形是矩形。

第五步，建构数学模型。进行静态分析之后，在每一段中，根据出现的不同的几何图形，利用规则图形用公式、不规则图形用面积和差的方法，列出能够表示它们面积的代数式，进而得出重叠图形面积y与运动时间x的函数关系式。

解题过程如下：由题意易求MQ=x。当3≤x≤4时，重叠图形为平行四边形，如图②。y=PN·PD=x(7-x)=-x2+x。当4＜x≤时，重叠图形是矩形，如图③。y=3[(8-x)-(x-3)]=-6x＋33。当＜x≤7时，重叠图形是矩形如图④。y=3[(x-3)-(8-x)]=6x-33。

这样，应用这个解题策略就完成了此题。这一解题策略能够解决有关点运动、线运动和形运动中产生的重叠图形面积问题，同时也可以解决运动变化问题中其他重叠图形类问题，比如周长与运动时间函数关系式等问题。希望这一策略能够给更多的学生提供一个解题思路，能够把束手无策的运动题在分析解答时降低难度，利用这一策略更好地解决初中数学的运动问题。