函数中恒成立问题解题策略

新课标下的数学越来越注重对学生的综合素质的考察，恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它主要涉及到函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。近几年的数学高考中频频出现恒成立问题，其形式逐渐多样化，但都与函数、导数知识密不可分。

解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②变换主元法；③分离参数法；④数形结合法。下面我就以常见考题中所涉及的“恒成立”问题为例；谈谈函数中恒成立问题解题策略及技巧

一、函数性质法

①.若二次函数（或）在R上恒成立，则有（或）；

②.若二次函数（或）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解。

已知函数，若对于任一实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是（ )

A．(0，2)    B．(0，8)    C．(2，8)     D．(－∞，0)

分析：与的函数类型，直接受参数的影响，所以首先要对参

数进行分类讨论，然后转换成不等式的恒成立的问题利用函数性质及图像  

解题。

解析：当时，在上恒成立，

而在上恒成立，显然不满足题意；(如图1)

当时，在上递减且只在上恒           成立，而是一个开口向下且恒过定点（0，1）的二次函数，

显然不满足题意。

当时，在上递增且在上恒        

成立，

而是一个开口向上且恒过定点（0，1）的二次函数，要使对任一实数，

与的值至少有一个为正数则只需在上恒成立。(如图3)

则有或解得或，

综上可得即。 故选B。

[例2]（09年江西卷文17）设函数．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m          

（1）对于任意实数，恒成立，求的最大值。（部分）

解析：(1) , 对, , 即 在上恒成立, , 得，即的最大值为。

二、数形结合（对于型问题，利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理）

若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。

(A)     (B)       (C)       （D）  

解析：对 ,不等式恒成立

则由一次函数性质及图像知，即。

[例4]的取值范围.

分析：设y=|x+1|-|x-2|,即转化为求函数y=|x+1|-|x-2|的最小值，画出此函数的图象即可求得a的取值范围.

解：令

如图所示，由图象可看出，要使对任意实数，不等式

只需 .

故实数

三、分离参数法

　 利用分离参数法来确定不等式,（ ,为实参数）恒成立中参数的取值范围的基本步骤:

（1） 将参数与变量分离，即化为（或）恒成立的形式；

（2） 求在上的最大（或最小）值；

（3） 解不等式 (或 ) ，得的取值范围。

适用题型：（1） 参数与变量能分离；（2） 函数的最值易求出。

[例5] （07年山东卷文15)当时，不等式恒成立，则的取值范围是   .

解析: 当时，由得 .令，则易知在上是减函数，所以时，则∴ .

[例6]（09年山东卷文21） 已知函数 ,其中  w.w.w.k.s.5…。

（1）       当满足什么条件时,取得极值?

（2）       已知 ,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.

分析：此题虽有三个变量、、，而的范围已知，最终要用表示出的取值范围，所以可以将看成一个已知数，对和进行离参。

解析：(2) 在区间上单调递增在上恒成立

恒成立，。

设，，令得或(舍去)，

当时,，当时，单调增函数；

当时，单调减函数,

  。。

当时，，此时在区间恒成立，所以在区间上单调递增，，。

综上，当时, ；   当时，。

点评：如果能够将参数分离出来，建立起明确的参数和变量x的关系，则可以利用函数的单调性求解。恒成立，即大于时大于函数值域的上界。     

恒成立 ，即小于时小于函数值域的下界。

四、变换主元法

某些含参数恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度。即把主元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的效果。

[例7] (08安徽文科20．已知函数，其中为实数．)

（Ⅱ）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围．（部分）

分析：已知参数的范围，要求自变量的范围，转换主参元和的位置，构造以为自变量作为参数的一次函数，转换成，恒成立再求解。

解析：由题设知“对都成立，即对都成立。设（），

则是一个以为自变量的一次函数。恒成立，则对，  为上的单调递增函数。 所以对，恒成立的充分必要条件是，，，于是的取值范围是。

上述例子剖析了近几年数学高考中恒成立问题的题型及解法，值得一提的是，各种类型各种方法并不是完全孤立的，虽然方法表现的不同，但其实质却都与求函数的最值是等价的，函数中恒成立的问题，涉及的知识面广，综合性强，同时数学语言抽象，如何从题目中提取可借用的知识模块往往捉摸不定，难以寻觅，是同学们学习的一个难点，同时也是高考命题中的一个热点。本文通过实例，从不同角度用常规方法归纳，仅供大家参考。