离散数学教学改革方案研究

引言
离散数学是现代数学的一个分支，是计算机类专业的专业基础课程。它以研究离散量的结构及其相互间的关系为主要目标，其研究对象一般是有限个或可数个元素，因此离散数学可以充分描述计算机学科离散性的特点。[1]通过这门课程的学习，可以培养学生的抽象思维能力和严格逻辑的推理能力，为数据结构、操作系统、编译理论、算法分析等后续课程的学习打下坚实的数学基础。但离散数学内容多、概念多、理论性强、抽象、解题方法灵活、解题思路严谨、应用广泛，在实际教学中学生兴趣不高，教学效果不理想。因此，改革离散数学的教学内容、教学方法和手段等以提高离散数学课程的教学质量，对学生后续课程的学习和科研工作有重要的意义。
一、教学内容
《离散数学》课程的教学内容一般包括四个部分：数理逻辑、集合论、代数系统和图论。根据学校的层次不同，《离散数学》的学时也不相同。例如清华大学等名校《离散数学》的学时多达96个学时，例如中国地质大学等重点高校《离散数学》的学时为80学时，一些普通高校则是64或48学时。该课程内容非常多，包含大量的定义、定理以及逻辑推导和证明题。如果全部内容都详细讲授, 必然讲课速度要快，各知识点的例题要少而精。这样很难使学生在课堂上跟上老师的思路，从而失去了兴趣和信心，导致教学效果不佳。因此对讲授内容应当有所侧重和取舍。对于与后继课程联系不紧密，而学生又不容易理解的内容仅做了解性介绍，对于与后继课程联系紧密，在计算机领域中广泛应用的内容则详细讲解，必要时，多讲几个例题。从而保证学生学一部分会一部分，而不是学了很多却什么都不能深入理解。
在数理逻辑的教学中强化训练学生逻辑演算能力，并通过逻辑推理理论的学习来提高逻辑推理能力。在集合基本概念部分，学生对其中很多内容在中学已有所了解，因此这部分内容只需简单介绍。代数系统部分主要介绍二元运算及其性质，以及几个代数系统，包括半群、单元半群、群、格与布尔代数。正规子群、群同态等删除不讲。图论部分重点放在基本概念的理解和《数据结构》中没有涉及到的实际问题的处理上，如详细讲解图的同构、欧拉图和哈密尔顿图，而最小生成树、 最短通路等问题，在《数据结构》中有详细讲解，在该课程中则可以一带而过。这样既为后续课程《数据结构》做一个良好的铺垫，也节省了学时。
二、教学方法
教学方法是完成教学任务、实现教学目标和提高教学质量的关键所在。好的教学方法可以引导学生对该课程产生浓厚的学习兴趣，培养学生的探索精神和人文素养。在离散数学教学中，我们的教学方法包括：注重课堂授课内容与趣味性相结合，激发学生的学习兴趣；揭示该课程知识体系的内在联系，使学生领悟数学内在的统一性；揭示本课程与计算机科学之间的联系，使学生体会到离散数学对计算机科学的重要意义；讲解知识的背景与形成过程，培养学生的人文素质。
（一）注重课堂授课内容与趣味性相结合
提高课堂教学质量对于提高教学质量非常关键。在课堂教学中结合一些有趣的故事或问题，可以提高学生的学习兴趣，减轻学习的压力，并从故事入手，提出有思考性的问题，促进和启发学生思维的积极性。比如在讲命题逻辑时，引入悖论来说明不是所有陈述句都是命题；用苏格拉底三段论来说明有些简单而正确的推理过程在命题逻辑里是得不到证明的，由此引出谓词逻辑；在讲图论时提出哥尼斯堡七桥问题，瑞士数学家欧拉给出了对该问题很容易理解的简单证明，他将该问题转化为一个图的问题，利用这个例子既生动的引出图论，也讲解了如何将一个实际问题转化为一个数学问题的数学建模过程。还可以介绍一些在民间广泛流传的游戏难题，如迷宫问题、博弈问题和棋盘上马的行走路线等问题。这些古老的难题，当时吸引了很多学者的注意，在这些问题研究的基础上又继续提出了著名的四色猜想，汉密尔顿环游世界数学难题。
总之, 尽量开拓学生思路，引导学生进行探索式学习，避免简单地灌输型传授知识，从而激发学生的求知欲，既调动了学生学习的积极性，又培养了学生的科研能力。
（二）揭示本课程知识体系的内在联系
离散数学的四大部分内容相对独立又相互渗透，我们在讲课过程中应注重前后呼应，力求揭示知识体系的内在联系。如集合论是整个课程的基础，用集合描述概念的思想方法渗透于各个篇章之中。谓词逻辑就是命题逻辑的推广，谓词逻辑的内容和定理与命题逻辑十分的类似，应建议学生对比着学习。集合论中的恒等式与逻辑中的等值式的名称和形式都基本相同，关系是笛卡尔积的子集，函数是特殊的二元关系。代数系统是具有某些运算的非空集合， 同态和同构是保持运算的不同函数。图是由边集和点集所构成，各种子图都是其子集。有限集合上的关系可用图来表示。在教学中多总结各章节之间的联系和相同之处，可达到事半功倍的效果。可使学生融汇贯通，形成离而不散的知识结构，领悟数学内在的统一性，也有利于知识的巩固。
（三）揭示《离散数学》与计算机科学之间的联系
《离散数学》作为计算机专业的专业基础课，与计算机科学之间存在着紧密的联系。很多学生看到《离散数学》这门课的名字就认为又是一门数学课，所以一开始就对这门课失去了兴趣。因此在教学过程中需要认真思考怎样把这门课程与计算机专业知识结合起来，如何把计算机知识融入离散数学教学中，使学生掌握如何将在这门课中学到的知识应用到计算机领域里来。从而达到学以致用的目的。下面就从几个方面介绍离散数学在计算机科学中的具体应用。[2]

(1) 逻辑学在计算机科学中的应用
命题逻辑在数字逻辑中广泛应用，比如将设计的硬件电路图用逻辑表达式表示出来，然后利用命题逻辑中的命题公式化简的方法化简逻辑表达式，再由化简后的表达式画出电路图，即可得到简化的电路图。同时在计算机的程序设计中，运用命题公式化简可以简化很多运算来优化程序。比如，当我们初步设计出一个计算机的程序，如果认为设计比较繁琐，那么就可以利用命题公式的等价公式，通过演算就可以检验出设计中是否存在不必要的内容。从而减少冗余。
(2) 集合论计算机科学中的应用
集合论是离散数学的理论基础，渗透到各个章节。在计算机科学中也得到了广泛的应用，特别是在研究关系数据库时有着极其重要的作用。关系数据模型建立在严格的集合代数的基础上，它用二维表结构来表示实体以及实体之间联系的模型。例如笛卡儿积的理论应用在研究实体集中的域和域之间可能存在的关系；等价关系应用在信息检索系统中，根据一个主码，可以把全体文献划分成两个块；序关系应用在项目管理系统中，其中一些任务必须在其它任务结束之后才能开始，就需要建立序关系。
(2) 代数系统在计算机科学中的应用
代数结构及群论对计算机科学的发展有着重大的理论和实践意义。对程序理论、编译程序理论、数据安全、形式语言、文本编辑理论、自动机理论、逻辑电路理论、语义学研究及数据结构等计算机分支学科都有重大的理论和现实意义。例如，利用置换群解决着色问题；利用图的同构异构理论解决图计数问题；利用布尔代数理论进行开关电路的研究；利用群的相关理论进行纠错码的研究。
(3) 图论在计算机科学中的应用
图论是个在计算机学科中应用十分广泛的重要理论，数据结构的图和树这两个重要概念就是由图论理论引出来的。它为学习数据结构奠定了基础。同时图论在操作系统、人工智能、形式语言、编译程序的编写方面都发挥了极其重要的作用。比如，在操作系统中，当我们需要判断并发进程中是否存在递归和死锁的现象时，就可以运用图论通过判断一个有向图中是否存在回路来解决。在编译程序中，在图论的理论基础上使用树来表示源程序的语法结构，从而产生语法分析树。在数据库系统中，运用图论理论就可以用树来组织和检索所需要的各种信息，把各种不同的信息结点间的复杂关系，用树这种清晰的形式直观地表达出来。图论理论还被广泛运用到计算机的操作系统中，它可以把一项本来很复杂的操作程序最大程度的简单化，同时图和树的理论对于网络信息流量、网络线路的铺设、集成电路的布线分析等实际应用很有实用价值。
三、教学手段
采用现代化的教学手段是为了更好地实现教学目标、完成教学任务。讲求实效，是运用现代化教学手段应遵循的首要原则。在有多媒体教室之前，我们采用纯板书的教学方式进行授课。但是板书需要占用较多时间书写定义和实例，在学时一定的情况下，讲解的内容和例题相对就要减少。自有多媒体教室以来，就制作了多媒体课件，采用多媒体的教学方式进行授课。多媒体课件提高了教学效率。更重要的是采用多媒体课件还有利于加强启发式、形象化教学，通过使用文字、图像、动画等使授课形式更加生动。但是，我们必须注意到，纯多媒体教学也存在着一些问题，例如，在逻辑学部分有大量的逻辑推导和证明例题，如果用多媒体课件讲解，速度会比较快，学生普遍出现不愿意主动思考的局面，老师和学生的互动无形中将会被弱化，不利于深入开展教学活动，更不利于培养学生的逻辑思维能力。因此，我们采取多媒体课件教学与板书教学相结合的教学方式，同时在代数系统等章节使用Maple软件演示一些函数的计算。Maple是加拿大滑铁卢大学和Waterloo Maple Software公司设计的一套为微积分、线性代数和微分方程等高等数学使用的软件包。Maple提供了2000余种数学函数，涉及范围包括普通数学、高等数学、线性代数、数论、离散数学和图形学。这样采用多种教学方式相互补，需要逻辑推导的例题采用板书的方式；定义、定理、图表、图形等采用多媒体方式；需要快速让学生看到计算结果的使用Maple软件。取得了良好的教学效果。
四、结束语
本文从教学内容、教学方法和教学手段三个方面阐述了教学改革的思路。本着离散数学是计算机专业的核心专业基础课的出发点，在教学的各个环节紧密的与计算机专业相结合，在提高教学质量，使学生掌握该课程知识体系的同时，能够与计算机专业的其它课程相联系，达到学以致用的目的。
[参考文献]
[1]左孝凌,李为,刘永才.《离散数学》[M],上海：上海科学技术文献出版社，1982.
[2]蔡之华,薛思清,吴杰.《离散数学》[M],武汉：中国地质大学出版社，2008.
[3]程转流.《离散数学课程的教学与实践》[J],安庆师范学院学报,2010(2)：105-107.
[4]柳益君,朱广萍,朱明放,蒋红芬,古春生.《应用型本科计算机专业离散数学教学实践》[J],软件导报,2011(4):177-178.

[5]张海琼.《用数学软件Maple做数学实验》[J],合肥教育学院学报,2002(4)：107-109.
[6]文海英,廖瑞华,魏大宽.《离散数学课程教学改革探索与实践》[J]，计算机研究,2010(6)：100-103.
（作者单位：中国地质大学 计算机学院 湖北武汉）